Encyklopedi

Newton och Infinite Series -

Isaac Newtons kalkyl började faktiskt 1665 med hans upptäckt av den allmänna binomierserien (1 + x ) n = 1 + n x + n ( n - 1) / 2!x 2 + n ( n - 1) ( n - 2) / 3!x 3 + ⋯ för godtyckliga rationella värden på n . Med denna formel kunde han hitta oändliga serier för många algebraiska funktioner (funktioner y av x som uppfyller en polynomekvation p ( x , y) = 0). Till exempel, (1 + x ) −1 = 1 - x + x 2 - x 3 + x 4 - x 5 + ⋯ och 1 / kvadratrot av √ (1 - x 2) = (1 + (- x 2) ) -1/2 = 1 + 1/ 2x 2 + 1 ∙ 3/ 2 ∙ 4x 4+ 1 ∙ 3 ∙ 5/ 2 ∙ 4 ∙ 6x 6 + ⋯.

Utsikt över Andromedagalaxen (Messier 31, M31). Quiz Astronomy and Space Quiz Vad heter den synliga delen av solen?

I sin tur ledde detta Newton till oändliga serier för integreringar av algebraiska funktioner. Till exempel, erhöll han logaritmen genom att integrera befogenheter x i serien för (1 + x ) -1 en efter en, log (1 + x ) = x - x 2/ 2 + x tre / tre - x 4 / 4 + x 5/ 5 - x 6/ 6 + ⋯, och inversen sinusserien genom att integrera serier för en / Kvadratroten av √ (1 - x 2), sin-1 ( x ) = x + 1/ 2x 3/ 3 + 1 ∙ 3/ 2 ∙ 4x 5/ 5 + 1 ∙ 3 ∙ 5/ 2 ∙ 4 ∙ 6x 7/ 7 + ⋯.

Slutligen krönte Newton denna virtuosa föreställning genom att beräkna den inversa serien för x som en serie i kraften y = log ( x ) respektive y = sin − 1 ( x ), och hitta den exponentiella serien x = 1 + y / 1! + Y två / 2! + y 3/3 ! + Y 4/ 4! + ⋯ och sinusserien x = y - y 3/3 ! + Y 5/ 5! - y 7 /7! + ⋯.

Observera att den enda differentiering och integration som Newton behövde var för krafter av x , och det verkliga arbetet innebar algebraisk beräkning med oändliga serier. Faktum är att Newton såg kalkylen som den algebraiska analogen av aritmetik med oändliga decimaler, och han skrev i sin Tractatus de Methodis Serierum et Fluxionum (1671; "Avhandling om seriens och flödesmetoden"):

Jag är förvånad över att det inte har förekommit någon (om du utom N. Mercator och hans kvadrat av hyperbolen) passar den doktrin som nyligen fastställts för decimaltal till variabler, särskilt eftersom vägen då är öppen för mer slående konsekvenser. För eftersom denna doktrin i art har samma förhållande till algebra att läran om decimaltal har gemensam aritmetik, kan dess operationer av addition, subtraktion, multiplikation, division och rotutvinning lätt läras av den senare.

För Newton var sådana beräkningar symbolen för kalkylen. De kan hittas i hans De Methodis och manuskriptet De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas (1669; ”Om analys av ekvationer med ett oändligt antal termer”), som han stungades till att skriva efter att hans logaritmiska serie återupptäcktes och publicerades av Nicolaus Mercator. Newton avslutade aldrig De Methodis , och trots de få som han tillät att läsa De Analysi entusiasm , nekade han det från publicering till 1711. Detta skadade naturligtvis bara honom i hans prioriterade tvist med Gottfried Wilhelm Leibniz.

$config[zx-auto] not found$config[zx-overlay] not found